cho các số a, b, c thỏa mãn điều kiện :
a(a-c) +c( c-a) +8( d -b)>0
chứng minh rằng ít nhất một trong 2 phương trình sau đây có nghiệm:
x2+ax +b =0(1) x2 -cx -d =0 (2)
Giúp mình nha các bạn ..... mk tick tích cực luôn...^-^
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Delta_1'=b^2-ac\) ; \(\Delta_2'=c^2-ab\) ; \(\Delta_3'=a^2-bc\)
\(\Rightarrow\Delta_1'+\Delta_2'+\Delta_3'=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(a-b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(b-c\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(c-a\right)^2\ge0\) ; \(\forall a;b;c\)
\(\Rightarrow\) Tồn tại ít nhất 1 trong 3 giá trị \(\Delta_1';\Delta_2';\Delta_3'\) không âm
\(\Rightarrow\) Ít nhất 1 trong 3 pt nói trên có nghiệm
Cần cm BĐT: với mọi a, b, c ta luôn có \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
Ta có \(\Delta_1=a^2-4\) ; \(\Delta_2=b^2-4\) ; \(\Delta_3=c^2-4\)
Do đó \(\Delta_1+\Delta_2+\Delta_3=a^2+b^2+c^2-12\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}-12=\frac{6^2}{3}-12=0\)
Vậy \(\Delta_1+\Delta_2+\Delta_3\ge0\) nên ít nhất phải có \(\Delta_1\ge0\) hoặc \(\Delta_2\ge0\) hoặc \(\Delta_3\ge0\)
(vì nếu cả 3 cái cùng < 0 thì tổng của chúng sẽ < 0)
Điều này chứng tỏ phải có ít nhất 1 pt có nghiệm.
Ta có: a x + b = 0 ⇔ x = - b a
Và c x + d = 0 ⇔ x = - d c
Theo giả thiết ta có: - b a < - d c ⇔ b a > d c
\(\frac{a}{3b}=\frac{b}{3c}=\frac{c}{3d}=\frac{d}{3a}=\frac{a+b+c+d}{3a+3b+3c+3d}=\frac{1}{3}.\)
\(\Rightarrow\frac{a}{3b}=\frac{1}{3}\Rightarrow a=b\)
\(\Rightarrow\frac{b}{3c}=\frac{1}{3}\Rightarrow b=c\)
\(\Rightarrow\frac{c}{3d}=\frac{1}{3}\Rightarrow c=d\)
Vậy, a=b=c=d đpcm.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a}{3b}=\frac{b}{3c}=\frac{c}{3d}=\frac{d}{3a}=\frac{a+b+c+d}{3b+3c+3d+3a}=\frac{a+b+c+d}{3\left(a+b+c+d\right)}=\frac{1}{3}.\)
\(\Rightarrow\)
\(\frac{a}{3b}=\frac{1}{3}\Rightarrow\frac{a}{b}=1\)(1)
\(\frac{b}{3c}=\frac{1}{3}\Rightarrow b=c\)(2)
\(\frac{c}{3d}=\frac{1}{3}\Rightarrow c=d\)(3)
\(\frac{d}{3a}=\frac{1}{3}\Rightarrow d=a\)(4)
Từ (1)(2)(3)(4) suy ra a= b=c=d(dpcm)